Решебник по функциональному анализу

Dating > Решебник по функциональному анализу

Download links: → Решебник по функциональному анализу → Решебник по функциональному анализу

Свойства группы обратимых элементов. Скачать djvu, 4 Мб Александров П. Исследования по теории роста функций.

Сепарабельные метрические пространства 1. Коэффициенты Фурье и их свойства. Теоремы о разделении выпуклых множеств. Пример 2 , ,. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Книга, несомненно, полезна широкому кругу читателей, особенно студентам и преподавателям функционального анализа, а также всем тем, кто желает освежить и пополнить свои знания в одном из важнейших разделов современной математики - теории гильбертовых пространств. Подпространство вполне непрерывных операторов 6. Теоремы Банаха об открытом отображении, об обратном операторе и о замкнутом графике. Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены. Производные и дифференциалы Фреше высших порядков Упражнения 10. Ряды и интегралы Фурье. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев: Так как , то: Таким образом: — действительная часть функции ; — мнимая часть функции.

Предлагаемый материал направлен на закрепление теоретического материала путем самостоятельного решения задач, а также на овладение основными приемами и методами решения задач по функциональному анализу. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного. Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой: Вычислим значение производной в требуемой точке: Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены, Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления: Пример 6 Определить действительную и мнимую части функции.

Задачи и упражнения по функциональному анализу: Методические указания - Представляет собой элементарный курс функционального анализа метрические, линейные нормированные, гильбертовы пространства, теория линейных операторов и функционалов, теория линейных уравнений в банаховых пространствах, дифференцирование нелинейных отображений. Скорины», 2010 Введение Функциональный анализ является одним из важнейших разделов математического анализа, воплотившим в себе единство абстрактной и прикладной математики.

При подборке задач и упражнений использовалась приведенная ниже литература. Некоторые задачи и упражнения являются новыми. В разработке приняты следующие сокращения: МП — метрическое пространство, ЛП — линейное пространство, ЛМ — линейное многообразие, ЛНП — линейное нормированное пространство, БП — банахово пространство, ПСП — пространство со скалярным произведением, ГП — гильбертово пространство, ММН — множество меры нуль, ЛОО — линейный ограниченный оператор, ЛОФ — линейный ограниченный функционал. Элементы теории функций и функционального анализа. Краткий курс функционального анализа. Интеграл, мера и производная. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Методы решения задач по функциональному анализу. Сборник задач по математическому анализу. Задачи и упражнения по функциональному анализу. Метрические пространства определения 1. Пусть ½ x; y — метрика в X. Пусть функция ' t определена и дважды непрерывно дифференцируема при t ¸ 0. Пусть X — МП с метрикой ½ x; y. Может ли в метрическом пространстве шар радиуса 4 быть строгим подмножеством шара радиуса 3? Показать, что если шар радиуса 7 в метрическом пространстве содержится в шаре радиуса 3, то эти шары совпадают. Пусть множество M ½ X — МП ограничено. Пусть множества A и B ограничены в X — МП. Сходимость в метрических пространствах 2. Показать, что если в метрическом пространстве при n! z f z g n n 2 Привести пример последовательности x n , которая принадлежала бы m и l 2, сходилась в m и не сходилась в l 2. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в метрическом пространстве ограничена. Пусть fx n g — фундаментальная последовательность в метрическом пространстве такая, что некоторая ее подпоследовательность fx n k g сходится при k! Доказать, что x n! Пусть последовательность fx n g в метрическом пространстве такая, P что ряд 1 ½ x k; x k +1 сходится. Пусть fx n g, fy n g — фундаментальные последовательности в метрическом пространстве. Доказать, что при n! Доказать, что всякое метрическое пространство с конечным числом элементов является полным. Доказать полноту пространства s. Доказать полноту пространства m. Пусть X и Y — метрические пространства с метриками ½ X и ½ Y соответственно. Замкнутые и открытые множества 3. Привести пример строгого включения. Показать, что замыкание открытого шара в метрическом пространстве содержится в соответствующем замкнутом шаре, но может с ним не совпадать. Доказать замкнутость в метрическом пространстве любого конечного множества. Пусть f x — непрерывная на R 1 функция. Доказать, что для любого a 2 R 1 в R 1 замкнуто множество fx 2 R 1 j f x · ag. Построить счетную последовательность замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым. Привести пример строгого включения. Показать, что в дискретном метрическом пространстве каждое множество открыто. Пусть f x — непрерывная на R 1 функция. Построить счетную последовательность открытых множеств, пересечение которых не является открытым. Пусть X — МП, B — замкнутое подмножество X, а A — произвольное подмножество. Нет ли здесь противоречия с теоремой о вложенных шарах? Доказать, что объединение двух совершенных множеств является совершенным множеством, а пересечение двух совершенных множеств может не быть совершенным. Пусть множество A в метрическом пространстве X нигде не плотно. Верно ли, что дополнение к всюду плотному множеству является нигде не плотным? Пусть множество A в метрическом пространстве нигде не плотно. Доказать, что замыкание A также нигде не плотно. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству является нигде не плотным. Доказать, что множество всех иррациональных чисел является в R 1 множеством второй категории. Доказать, что в полном метрическом пространстве дополнение к множеству первой категории есть множество второй категории. Какой категории на R 2 2 является множество E всех точек, обе координаты которых иррациональные числа? Непрерывные отображения метрических пространств 4. Доказать, что в задаче 4. Доказать, что в задаче 4. Пусть X, Y — МП-ваи функция f : X! Доказать, что любое непрерывное отображение числового отрезка в себя имеет неподвижную точку. Показать, что функция f x является сжимающей, но неподвижных точек не имеет. Пусть X — МП полное. X и является сжимающим с константой сжатия q. Доказать, что всякое подмножество относительно компактного множества является относительно компактным. Доказать компактность всякого конечного множества в метрическом пространстве. Доказать, что замыкание относительно компактного множества является компактным. Доказать, что всякое компактное метрическое пространство является полным. Доказать, что объединение конечного числа компактных множеств есть множество компактное. Доказать, что в метрическом пространстве любая последовательность непустых компактных множеств A 1 ¾ A 2 ¾ ::: ¾ A n ::: имеет непустое пересечение. Привести пример замкнутого ограниченного множества в пространстве l 2, не являющегося компактным. Пусть A — относительно компактное множество в X — МП. Пусть A, B — относительно компактные множества в метрическом пространстве. Пусть множество A вполне ограничено в метрическом пространстве. Пусть A и B — ограниченные множества в метрическом пространстве. Пусть A — подмножество линейного пространства. Пусть E; F — ЛП-ва. Показать, что тогда E £ F — ЛП. Доказать, что пересечение любой системы выпуклых множеств есть выпуклое множество. Пусть A и B — выпуклые множества. Доказать, что для любых чисел ¸ и ¹ множество ¸A + ¹B выпукло. Пусть A — выпуклое множество и f x n A. Линейные нормированные пространства 7. Показать, что для любой пары элементов x и y из линейного нормированного пространства выполняется неравенство kxk · maxfkx + yk; kx ¡ ykg. Показать, что множество M ½ E — ЛНП ограничено тогда и только тогда, когда 9C ¸ 0 8x 2 M kxk · C. Пусть E; F — ЛНП-ва. Определим в E £ F — ЛП зад. Показать, что тогда: a E £ F — ЛНП; б если E; F — БП-ва,то и E £ F — БП.